Question

已知函数．
（1）若f（x）是单调函数，求a的取值范围；
（2）若f（x）有两个极值点x₁，x₂，证明：f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2．

Answer

（1）先由f（x），求出f′（x）=--2ax+1=-．再利用导数判断函数的单调性，由f（x）是单调函数，能求出a的取值范围．
（2）由（1）知，当且仅当a∈（0，）时，f（x）有极小值点x1和极大值点x2，且x1+x2=，x1x2=．求得f（x1）+f（x2）=-ln（x1x2）+（x1+x2）+1=ln（2a）++1．令g（a）=ln（2a）++1，a∈（0，]，由此能够证明f（x1）+f（x2）＞3-2ln2．
【解析】
（Ⅰ）f（x）=-lnx-ax2+x，
f′（x）=--2ax+1=-．…（2分）
令△=1-8a．
当a≥时，△≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）单调递减．…（4分）
当0＜a＜时，△＞0，方程2ax2-x+1=0有两个不相等的正根x1，x2，
不妨设x1＜x2，
则当x∈（0，x1）∪（x2，+∞）时，f′（x）＜0，
当x∈（x1，x2）时，f′（x）＞0，
这时f（x）不是单调函数．
综上，a的取值范围是[，+∞）．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当且仅当a∈（0，）时，f（x）有极小值点x1和极大值点x2，
且x1+x2=，x1x2=．
f（x1）+f（x2）=-lnx1-a+x1-lnx2-a+x2
=-（lnx1+lnx2）-（x1-1）-（x2-1）+（x1+x2）
=-ln（x1x2）+（x1+x2）+1=ln（2a）++1．…（9分）
令g（a）=ln（2a）++1，a∈（0，]，
则当a∈（0，）时，g′（a）=-=＜0，g（a）在（0，）单调递减，
所以g（a）＞g（）=3-2ln2，即f（x1）+f（x2）＞3-2ln2．…（12分）