Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，圆O为△ABC的外接圆，且AB=AC，过点A的直线交圆O于点D，交BC的延长线于点F，DE是BD的延长线，连接CD．
（Ⅰ）求证：∠EDF=∠CDF；
（Ⅱ）求证：AB²=AF•AD．

Answer

（1）由∠EDF=∠ADB，∠ADB=∠ACB，∠CDF=∠ABC，AB=AC，能够证明∠EDF=∠CDF．
（2）由∠ADC+∠ABC=180°，∠ACF+∠ACB=180°，知∠ADC=∠ACF，故△ADC≌△ACF，由此能够证明AB2=AD•AF．
【解析】
（1）∵∠EDF=∠ADB，
∠ADB=∠ACB，
∠CDF=∠ABC，AB=AC，
∴∠EDF=∠CDF；
（2）∵∠ADC+∠ABC=180°，
∠ACF+∠ACB=180°，
∴∠ADC=∠ACF，
∴△ADC∽△ACF，
∴，
AC2=AD•AF，
∴AB2=AD•AF．