Question

如图，ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且AD=PD=2EC，
（1）求证：BE∥平面PDA；
（2）求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的余弦值．

Answer

（1）取PD中点Q，连接AQ，由三角形中位线定理证出EC∥DQ且EC=DQ，得四边形DCEQ为平行四边形，进而证出EQ∥AB且EQ=AB，从而得到BEQA为平行四边形，得AQ∥BE，结合线面平行的判定定理，得到BE∥平面PAD；
（2）延长PE交DC于点K，连接BK，则平面PBE与平面ABCD的交线为BK，根据正方形的性质和线面垂直的判定，得BK⊥平面PDB，由此可得∠PBD为平面PBE与平面ABCD所成的二面角的平面角，Rt△PBD中，利用余弦的定义得cos∠PBD=，即可得到平面PBE与平面ABCD所成的二面角的余弦为．
【解析】
（1）取PD中点Q，连接AQ，
∵EC∥PD，EC=PD，∴EC∥DQ且EC=DQ，
由此可得四边形DCEQ为平行四边形，
所以EQ∥DC，EQ=DC，
∵ABCD为正方形，∴EQ∥AB，EQ=AB，
∴四边形BEQA为平行四边形，得AQ∥BE，
又∵AQ⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，
∴BE∥平面PAD；
（2）延长PE交DC于点K，连接BK，则平面PBE与平面ABCD的交线为BK，
∵PD⊥平面ABCD，BK⊂平面ABCD，∴PD⊥BK
 又∵EC∥PD，EC=PD，∴E为PK中点，C为DK中点，
连接AC，得正方形ABCD中，AC⊥BD且AC=BD
∵平行四边形ACKB中，AC∥BK，AC=BK
∴BD=BK，且BD⊥BK，
∵PD∩BD=D，∴BK⊥平面PDB，可得PB⊥BK，
由此可得∠PBD为所求二面角的平面角，
Rt△PBD中，PB====AD
∴cos∠PBD===，
所以平面PBE与平面ABCD所成的二面角的余弦为．