Question

已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（-1，）．
（Ⅰ）求sin2α-tanα的值；
（Ⅱ）若函数f（x）=cos（x+α）cosα+sin（x+α）sinα，求函数g（x）=f（-2x）-2f²（x）+1在区间[0，]上的取值范围．

Answer

（I）根据三角函数的定义，求出sinα、cosα和tanα的值，结合二倍角正弦公式代入，可得sin2α-tanα的值；
（II）由两角和的余弦公式，化简得f（x）=cosx，再代入g（x）表达式，结合诱导公式、二倍角余弦公式和辅助角公式化简，可得g（x）=2sin（2x-），由此结合正弦函数的图象与性质，不难得到g（x）在区间[0，]上的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）因为角α的终边经过点P（-1，），所以|OP|==2
∴sinα=，cosα=-，tanα==-------------（3分）
∴sin2α-tanα=2sinαcosα-tanα=2××（-）-（-）=----------（6分）
（2）f（x）=cos（x+α）cosα+sin（x+α）sinα=cos[（x+α）-α]=cosx，--------（8分）
∴g（x）=f（-2x）-2f2（x）+1=cos（-2x）-2cos2x+1
=sin2x-cos2x-1=2sin（2x-），----（10分）
∵x∈[0，]，2x∈[0，]，∴2x-∈[-，]
∴当x=0时，sin（2x-）=-为最小值；当x=时，sin（2x-）=1为最大值
即g（x）=2sin（2x-）-1的最小值为g（0）=-1；最小值为g（）=2．
所以函数g（x）=f（-2x）-2f2（x）+1在区间[0，]上的取值范围是[-1，2]．-------（12分）