Question

已知f（x）=x³+bx+cx+d在（-∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f（x）=0有三个根，它们分别为α，2，β．
（1）求c的值；
（2）求证f（1）≥2；
（3）求|α-β|的取值范围．

Answer

（1）根据f（x）在（-∞，0]上是增函数，在（0，2]上是减函数；得到x=0是f'（x）=0的根，求导f'（x）=3x2+2bx+c，即可求得f'（0）=0，c=0；
（2）根据f（1）=1+b+d，f（2）=0，得到d=-8-4b且b≤-3，利用不等式的基本性质可证f（1）=1+b-8-4b=-7-3b≥2；
（3）由f（x）=0有三根α，2，β；得到f（x）=（x-α）（x-2）（x-β）=x3-（α+β+2）•x2-2αβ，因此；∴故|β-α|2=（α+β）2-4αβ=（b+2）2+2d=b2+4b+4-16-8b=b2-4b-12=（b-2）2-16，利用b≤-3，求得|β-α|≥3．
【解析】
（1）∵f（x）在（-∞，0]上是增函数，在（0，2]上是减函数；
∴x=0是f'（x）=0的根，又∵f'（x）=3x2+2bx+c，∴f'（0）=0，∴c=0．
（2）∵f（x）=0的根为α，2，β，
∴f（2）=0，∴8+4b+d=0，又∵f'（2）≤0，
∴12+4b≤0，∴b≤-3，又d=-8-4b
∴d≥4
f（1）=1+b+d，f（2）=0
∴d=-8-4b且b≤-3，
∴f（1）=1+b-8-4b=-7-3b≥2
（3）∵f（x）=0有三根α，2，β；
∴f（x）=（x-α）（x-2）（x-β）
=x3-（α+β+2）•x2-2αβ
∴；
∴|β-α|2=（α+β）2-4αβ
=（b+2）2+2d
=b2+4b+4-16-8b
=b2-4b-12
=（b-2）2-16
又∵b≤-3，∴|β-α|≥3