Question

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2a，AB=a，PA⊥平米ABCD，F是线段BC的中点．H为PD中点．
（1）证明：FH∥面PAB；
（2）证明：PF⊥FD．

Answer

（1）证明FH∥面PAB，利用线面平行的判定，证明线线平行即可；
（2）连接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由线面垂直性质定理可得DF⊥PA，再由线面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由线面垂直的性质定理得到PF⊥FD．
证明：（1）取PA的中点G，连接GB，GH，则
∵底面ABCD是矩形，H为PD中点
∴GH∥BF，GH=BF
∴四边形BFHG是平行四边形
∴FH∥BG
∵FH⊄面PAB，BG⊂面PAB
∴FH∥面PAB；
（2）连接AF，则AF=，DF=
∵AD=2a，∴DF2+AF2=AD2，
∴DF⊥AF
∵PA⊥平面ABCD，
∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，
∴DF⊥平面PAF，
∵PF⊂平面PAF，
∴DF⊥PF