Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线y²=的焦点．PQ过椭圆焦点且PQ⊥x轴，A、B是椭圆位于直线PQ两侧的两动点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线AB的斜率为1，求四边形APBQ面积的最大值；
（3）当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

Answer

（1）根据离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线y2=的焦点，易求出a，b的值，得到椭圆C的方程．
（2）设出直线AB的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系，求得四边形APBQ的面积，从而可求四边形APBQ面积的最大值；
（3）设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系，即可求得得出AB的斜率为定值．
【解析】
（1）设椭圆C的方程为
∵椭圆的一个顶点恰好是抛物线y2=的焦点，∴a=
∵离心率等于，∴，∴c=1
∴b=1
∴椭圆C的方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=x+t，代入椭圆方程，消元可得3x2+4tx+2t2-2=0
由△＞0，解得-＜t＜
由韦达定理得x1+x2=-t，x1x2=．
∵PQ过椭圆焦点且PQ⊥x轴，∴|PQ|=
∴四边形APBQ的面积S=××|x1-x2|=×
∴t=0时，Smax=；
（3）当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，
PA的直线方程为y-=k（x-1），与椭圆方程联立，消元可得（1+2k2）x2+（2k-4k2）x+k2-2k-1=0
∴x1+1=-
同理x2+1=-
∴x1+x2=，x1-x2=-
∴y1-y2=k（x1+x2）-2k=，x1-x2=-
∴
∴直线AB的斜率为定值．