Question

设函数f（x）=x³-ax，x∈R．过图象上一点斜率最小的切线平行于直线x+y=2．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间和极值；
（3）已知当x∈（1，+∞）时，f（x）-kf（x-1）≥0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）由f（x）=x3-ax，x∈R，得f′（x）=3x2-a≥-a，由过图象上一点斜率最小的切线的斜率k=-a和过图象上一点斜率最小的切线平行于直线x+y=2，能求出a．
（2）由（1）知f（x）=x3-x，f′（x）=3x2-1，令f′（x）=3x2-1=0，得x=．列表讨论能求出函数f（x）的单调区间和极值．
（3）由f（x）-kf（x-1）≥0，f（x）=x3-x，得k≤==1+，由此能求出k有范围．
【解析】
（1）∵f（x）=x3-ax，x∈R，
∴f′（x）=3x2-a≥-a，
∴过图象上一点斜率最小的切线的斜率k=-a，
∵过图象上一点斜率最小的切线平行于直线x+y=2，
∴-a=-1，故a=1．
（2）∵a=1，∴f（x）=x3-x，f′（x）=3x2-1，
令f′（x）=3x2-1=0，得x=．
列表讨论：

 x  （-∞，-） -  （-，）    （，+∞）
 f′（x） +  0 -  0 +
 f（x） ↑  极大值 ↓  极小值 ↑

由表讨论知：函数f（x）的单调增区间是 （-∞，-）、（，+∞）；单调减区间是（-，）．
极大值f（-）=-+=，
极小值f（）==-．
（3）∵f（x）-kf（x-1）≥0，f（x）=x3-x，
∴k≤=
=
=
=1+，
∵x∈（1，+∞），
当1＜x＜2时，-2＜1+＜1
当x=-2时，1+＜+∞，
当x＞2时，1+＞1
∴k≤-2．