Question

设A∪B∪C={1，2，3，4，5}，且A∩B={1，3}，符合此条件的（A、B、C）的种数（ ）
A．500
B．75
C．972
D．125

Answer

分类讨论：若除了1，3之外，A∩B还包含了k个元素，k=0，1，2，3，先考虑符合条件的A、B的情况，再再考虑1，3以及那另外的k个元素是否在C中，即可求得结论．
【解析】
由题意，A∩B={1，3}，下面分类讨论．
若除了1，3之外，A∩B还包含了k个元素，k=0，1，2，3
①先看这k个元素，这k个元素是从剩下的{2，4，5}中选择出来的k个，有种，每个这样的元素都是恰好属于A，B之一，有2k种，所以，符合条件的A、B，就有×2k种方法；
②再考虑1，3以及那另外的k个元素是否在C中（其余的就不用考虑了，他们必然在C中），显然有2k+2种方式．
综合①②，就知道这样的A，B，C的选法有×2k×2k+2种．
k分别取0，1，2，3，可得4+48+192+256=500．
故选A．