Question

已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2正方形．若PA=2，则△OAB的面积为    ．

Answer

可将P，A，B，C，D补全为长方体ANCD-A′B′C′D′，让P与A′重合，则该长方体的对角线PC即为球O的直径（球O为该长方体的外接球，于是可求得PC的长度，可判断△OAB为等边三角形，从而而求其面积．
【解析】
依题意，可将P，A，B，C，D补全为长方体ABCD-A′B′C′D′，让P与A′重合，则球O为该长方体的外接球，长方体的对角线PC即为球O的直径．
∵ABCD是边长为2正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，
∴PC2=AP2+AC2=24+24=48，
∴2R=4，R=OP=2，
∴△OAB为边长是2的等边三角形，
∴S△OAB=×2×2×sin60°
=3．
故答案为：3．