Question

某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1，2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准
（1）已知甲厂产品的等级系数X₁的概率分布列如下所示：

且X₁的数字期望EX1=6，求a，b的值；
（II）为分析乙厂产品的等级系数X₂，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3   5   3   3   8   5   5   6   3   4
6   3   4   7   5   3   4   8   5   3
8   3   4   3   4   4   7   5   6   7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X₂的数学期望．
（Ⅲ）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
注：（1）产品的“性价比”=；
（2）“性价比”大的产品更具可购买性．

Answer

（Ⅰ）根据题意，结合期望的计算与频率分布列的性质，可得，解即可得答案；
（Ⅱ）依据题意中，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，先由数据得到样本的频率分布列，进而可得其概率分布列，由期望公式，计算可得答案；
（Ⅲ）由题意与（Ⅱ）的结论，可得两厂产品的期望，结合题意，计算可得他们产品的“性价比”，比较其大小，可得答案．
【解析】
（Ⅰ）根据题意，因为X1的数字期望EX1=6，则5×0.4+6a+7b+8×0.1=6，化简可得6a+7b=3.2；
又由X1的频率分布列，可得0.4+a+b+0.1=1，即a+b=0.5；
即，解可得a=0.3，b=0.2；
（Ⅱ）由已知得，样本的频率分布列为

用这个样本的频率分布估计总体的分布，将其频率视为概率，可得X2的概率分布列如下：

所以EX2=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8．
即乙产品的等级系数的数学期望等于4.8；
（Ⅲ）乙厂的产品更具有可购买性，
理由如下：甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为=1，
乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为=1.2；
据此乙厂的产品更具有可购买性．