Question

已知数列{a_n}满足，．
（1）若方程f（x）=x的解称为函数y=f（x）的不动点，求a_n+1=f（a_n）的不动点的值；
（2）若a₁=2，，求证：数列{lnb_n}是等比数列，并求数列{b_n}的通项．
（3）当任意n∈N^*时，求证：b₁+b₂+b₃+…+b_n＜．

Answer

（1）根据方程不动点的定义，令，解得an的值，
（2）把等式两边同时加1和两边同时减1，得到两式相除得，据此可以得数列lnbn是以-ln3为首项，3为公比的等比数列，于是可以数列{bn}的通项，
（3）根据，求得数列{}前n项和，然后判断其和与的大小．
【解析】
（1）由方程an+1=f（an）得，
解得an=0，或an=-1，或an=1．
（2）∵，，
∴两式相除得，
即bn+1=bn3．
由a1=2可以得到bn＞0，则lnbn+1=lnbn3=3lnbn．
又，得lnb1=-ln3，
∴数列lnbn是以-ln3为首项，3为公比的等比数列．
∴，（n∈N*）．
（3）任意n∈N*，3n-1≥n．∴，
∴b1+b2+b3++bn＜
=＜．