Question

如图，已知椭圆E：（a＞b＞0），焦点为F₁、F₂，双曲线G：x²-y²=m（m＞0）的顶点是该椭圆的焦点，设P是双曲线G上异于顶点的任一点，直线PF₁、PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D，已知三角形ABF₂的周长等于，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为．
（1）求椭圆E与双曲线G的方程；
（2）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁和k₂，探求k₁和k₂的关系；
（3）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据三角形ABF2的周长等于，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为可求出a，b的值，再利用双曲线G：x2-y2=m（m＞0）的顶点是该椭圆的焦点进而可求出m的值．
（2）可利用斜率公式k=表示出k1，k2再探求k1和k2的关系，关系无非就是和，差，积，商．
（3）牵涉到|AB|，|CD|，|AB|，|CD|需用到弦长公式，因而需要联立方程，故需要把直线AB的方程设出来联立方程代入计算即可．
【解析】
（1）由题意知，椭圆中
所以椭圆的标准方程为
又顶点与焦点重合，所以m=c2=a2-b2=4；
所以该双曲线的标准方程为．
（2）设点P（x，y），x≠±2
P在双曲线上，所以y2=x2-4所以k1•k2=1
（3）设直线AB：y=k1（x+2）k1≠0
由方程组得（2k12+1）x2+8k12x+8k12-8=0
设A（x1，y1），B（x2，y2）
所以
由弦长公式
同理
由代入得
所以存在使得|AB|+|CD|=λ|AB|CD|成立．