Question

已知P是双曲线上一点，F₁、F₂是左右焦点，△P F₁F₂的三边长成等差数列，且∠F₁ P F₂=120°，则双曲线的离心率等于（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

由题意，可根据双曲线的定义及题设中三边长度成等差数列得出方程|PF1|-|PF2|=4与2|PF1|=|PF2|+2c，由此两方程可解出|PF1|=2c-4，|PF2|=2c-8，再由∠F1 P F2=120°，由余弦定理建立关于c的方程，解出c的值，即可由公式求出离心率的值．
【解析】
由题，不妨令点P在右支上，如图，则有
|PF1|-|PF2|=4  ①
2|PF1|=|PF2|+2c   ②
由①②解得|PF1|=2c-4，|PF2|=2c-8
又∠F1 P F2=120°，由余弦定理得
4c2=（2c-4）2+（2c-8）2+（2c-4）×（2c-8）
解得，c=7或c=2（舍）
又a=2，故e=
故选D