Question

已知方向向量为的直线l过椭圆的焦点以及点（0，），直线l与椭圆C交于A、B两点，且A、B两点与另一焦点围成的三角形周长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过左焦点F₁且不与x轴垂直的直线m交椭圆于M、N两点，（O坐标原点），求直线m的方程．

Answer

（1）l：y=，直线l与x轴交点即为椭圆的右焦点F2（2，0），故c=2，由已知△F1AB周长为4，知a=，由此能求出椭圆方程．
（2）椭圆的左焦点为F1（-2，0），则直线m的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，得：（3k2+1）x2+12k2x+12k2-6=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，由此能求出m的方程．
【解析】
（1）l：y=，
直线l与x轴交点即为椭圆的右焦点F2（2，0），
∴c=2，
由已知△F1AB周长为4，
则4a=4，即a=，
∴b=，
故椭圆方程为．
（2）椭圆的左焦点为F1（-2，0），则直线m的方程为y=k（x+2），
代入椭圆方程，得：（3k2+1）x2+12k2x+12k2-6=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，
∵===||•||cos∠MON≠0，
∴sib，即，
∵=，
原点O到m的距离d=，
则==，
解得，
∴m的方程为．