Question

设函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）
（1）若关于x的不等式f（x）-m≥0在[0，e-1]有实数解，求实数m的取值范围．
（2）设g（x）=f（x）-x²-1，若关于x的方程g（x）=p至少有一个解，求p的最小值．
（3）证明不等式：（n∈N^*）．

Answer

（1）依题意得f（x）max≥m，x∈[0，e-1]，求导数，求得函数的单调性，从而可得函数的最大值；
（2）求导函数，求得函数的单调性与最值，从而可得p的最小值；
（3）先证明ln（1+x）≤x，令，则x∈（0，1）代入上面不等式得：，从而可得
．利用叠加法可得结论．
（1）【解析】
依题意得f（x）max≥m，x∈[0，e-1]
∵，而函数f（x）的定义域为（-1，+∞）
∴f（x）在（-1，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数，
∴f（x）在[0，e-1]上为增函数，∴
∴实数m的取值范围为m≤e2-2
（2）【解析】
g（x）=f（x）-x2-1=2x-2ln（1+x）=2[x-ln（1+x）]，∴
显然，函数g（x）在（-1，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数
∴函数g（x）的最小值为g（0）=0
∴要使方程g（x）=p至少有一个解，则p≥0，即p的最小值为0
（3）证明：由（2）可知：g（x）=2[x-ln（1+x）]≥0在（-1，+∞）上恒成立
所以ln（1+x）≤x，当且仅当x=0时等号成立
令，则x∈（0，1）代入上面不等式得：
即，即
所以ln2-ln1＜1，，，…，
将以上n个等式相加即可得到：