Question

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x，则称点（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现：“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，解答问题：若函数g（x）=x³-x²+3x-+，则的值是（ ）
A．2010
B．2011
C．2012
D．2013

Answer

构造h（x）=x3-x2+3x-，m（x）=，则g（x）=h（x）+m（x），分别求得对称中心，利用g（x）+g（1-x）=h（x）+h（1-x）+m（x）+m（1-x）=2，可得结论．
【解析】
由题意，令h（x）=x3-x2+3x-，m（x）=
则h′（x）=x2-x+3，∴h″（x）=2x-1，
令h″（x）=0，可得x=
∴h（）=1，即h（x）的对称中心为（，1），
∴h（x）+h（1-x）=2
∵m（x）=的对称中心为（，0）
∴m（x）+m（1-x）=0
∵g（x）=h（x）+m（x）
∴g（x）+g（1-x）=h（x）+h（1-x）+m（x）+m（1-x）=2
∴=2010
故选A．