Question

设，g（x）=a^x．（a＞0，a≠1，x＞2）
（I）若存在x∈（2+∞），使f（x）=m成立，求实数m的取值范围．
（Ⅱ）若任意x₁∈（2，+∞），存在x₂∈（2，+∞），使f（x₁）=g（x₂），求实数a的取值范围．

Answer

（I）根据，然后利用基本不等式可求出f（x）的最小值，从而求出m的取值范围；
（II）讨论a与1的大小，从而求出g（x2）的值域，使得[3，+∞）是g（x2）的值域的子集，从而求出a的取值范围．
【解析】
（I）∵x＞2∴≥3…（3分）
当且仅当x=3时取等号
∴f（x）的值域为[3，+∞）∴m的取值范围是[3，+∞）…（6分）
（Ⅱ）∵x1＞2∴f（x1）∈[3，+∞）…（7分）
（1）当a∈（0，1）时，．
而（-∞，a2）不可能包含[3，+∞），故此时a不存在．…（9分）
（2）当a∈（1，+∞）时，．要使（a2，+∞）⊇[3，+∞），
∴a2＜3又∵a＞1，∴…（11分）
综上得：…（12分）