Question

在数列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1a_n=2a_n-a_n+1，n∈N^*．
（1）证明数列为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：．

Answer

（1）通过移项整理得到an+1=，求得，即可证明数列为等比数列，然后求数列{an}的通项公式；
（2）法一：利用ai（ai-1）=（i=1，2，…，n）通过基本不等式，裂项法求出，再利用放缩法得到结果．
法二：和法一，类似，只是裂项法前，用的是放缩法，然后裂项法，求和放缩法推出证明的结果．
【解析】
（1）注意到an+1≠0，所以原式整理得：an+1=
由a1=2，an+1=得对n∈N*，an≠0．
从而由an+1=，两边取倒数得：∴数列是首项为-，公比为的等比数列∴∴．∴an=故数列{an}的通项公式是an=
…（4分）
（2）证法1：∵an=，∴ai（ai-1）=（i=1，2，…，n）当i≥2时，∵ai（ai-1）===
…（8分）∴
=2+1-＜3…（12分）
证法2：∵an=，∴ai（ai-1）=（i=1，2，…，n）当i≥2时，∵ai（ai-1）=…（8分）∴
=
＜2+＜3…（12分）