Question

设函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（Ⅰ）当时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式都成立．

Answer

（Ⅰ）先求函数的定义域，然后求出函数f（x）的导函数，利用二次函数的性质判定导函数的符号，从而确定函数f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）需要分类讨论，由（Ⅰ）可知分类标准为b≥，0＜b＜，b≤0或f'（x）＜0．参数取某些特定值时，可只管作出判断，单列为一类；不能作出直观判断的，再分为一类，用通法解决，另外要注意由f'（x）=0求得的根不一定就是极值点，需要判断在该点两侧的异号性后才能称为“极值点”．
（Ⅲ）先构造函数h（x）=x3-x2+ln（x+1），然后研究h（x）在[0，+∞）上的单调性，求出函数h（x）的最小值，从而得到ln（x+1）＞x2-x3，最后令，即可证得结论．
【解析】
（Ⅰ）函数f（x）=x2+bln（x+1）的定义域在（-1，+∞）

令g（x）=2x2+2x+b，则g（x）在上递增，在上递减，
g（x）=2x2+2x+b＞0在（-1，+∞）上恒成立，
所以f'（x）＞0即当，函数f（x）在定义域（-1，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知当时函数f（x）无极值点
（2）当时，，
∴，
∴时，函数f（x）在（-1，+∞）上无极值点
（3）当时，解f'（x）=0得两个不同解
当b＜0时，，
∴x1∈（-∞，-1），x2∈（-1，+∞），此时f（x）在（-1，+∞）上有唯一的极小值点
当时，x1，x2∈（-1，+∞）f'（x）在（-1，x1），（x2，+∞）都大于0，
f'（x）在（x1，x2）上小于0，此时f（x）有一个极大值点和一个极小值点
综上可知，b＜0，时，f（x）在（-1，+∞）上有唯一的极小值点
时，f（x）有一个极大值点和一个极小值点
时，函数f（x）在（-1，+∞）上无极值点．
（Ⅲ）当b=-1时，f（x）=x2-ln（x+1）．令上恒正
∴h（x）在[0，+∞）上单调递增，
当x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0
即当x∈（0，+∞）时，有x3-x2+ln（x+1）＞0，ln（x+1）＞x2-x3，对任意正整数n，取