Question

已知函数f（x）=e^x-x（e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若n∈N^*，证明：．

Answer

（1）求出f'（x）=ex-1，当x＞0时，f'（x）＞0，当x＜0时，f'（x）＜0，故当x=0时，f（x）有最小值1．
（2） 令，则∴，得到
，利用等比数列求和公式和放缩法，可证明 ．
【解析】
（1）∵f（x）=ex-x，∴f'（x）=ex-1，令f'（x）=0，得x=0．
∴当x＞0时，f'（x）＞0，当x＜0时，f'（x）＜0．∴函数f（x）=ex-x在区间（-∞，0）上单调递减，
在区间（0，+∞）上单调递增．∴当x=0时，f（x）有最小值1．
（2）证明：由（1）知，对任意实数x均有ex-x≥1，即1+x≤ex．令（n∈N*，k=1，2，，n-1），
则 ，∴．
即．∵，
∴．
∵，
∴．