Question

已知函数．
（1）求该函数的最小正周期和最小值；
（2）若x∈[0，π]，求该函数的单调递增区间．

Answer

（1）将函数解析式第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，第一、三项利用平方差公式分解因式后利用同角三角 函数间的基本关系及二倍角的余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式T=，即可求出函数的最小正周期；由正弦函数的值域得出函数的值域，即可确定出函数的最小值；
（2）由正弦函数的单调增区间[2kπ-，2kπ+]，列出关于x的不等式，求出不等式的解集，令解集中k=0和1，得到x的范围，与x∈[0，π]取交集，即可得到该函数的单调递增区间．
【解析】
（1）y=sin4x+2sinxcosx-cos4x
=sin2x+（sin4x-cos4x）
=sin2x+（sin2x+cos2x）（sin2x-cos2x）
=sin2x-cos2x=2sin（2x-），…（4分）
∵ω=2，∴T=π，
又-1≤sin（2x-）≤1，∴-2≤2sin（2x-）≤2，
则ymin=-2；…（6分）
（2）令2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z，
则kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，…（8分）
令k=0，1，得到x∈[-，]或x∈[，]，…（10分）
与x∈[0，π]取交集，得到x∈[0，]或x∈[，π]，
则当x∈[0，π]时，函数的递增区间是x∈[0，]和x∈[，π]．…（12分）