Question

已知动圆C过点A（-2，0），且与圆M：（x-2）²+y²=64相内切
（1）求动圆C的圆心的轨迹方程；
（2）设直线l：y=kx+m（其中k，m∈Z）与（1）所求轨迹交于不同两点B，D，与双曲线交于不同两点E，F，问是否存在直线l，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由|AM|=4＜R得点A（-2，0）在圆M内，设动圆C的半径为r，依题意得r=|CA|，且|CM|=R-r，|CM+|CA|=8＞|AM|，由定义得圆心C的轨迹是中心在原点，以A，M两点为焦点，长轴长为8的椭圆，再根据a，b，c的关系解答即可．
（2）直线l：y=kx+m与交于不同两点B，D，即x1+x2=同理得x3+x4=又因为所以（x4-x2 ）+（x3-x1）=0即x1+x2=x3+x4
，∴2km=0或又其中k，m∈Z即可求出k，m的数值．
【解析】
（1）圆M：（x-2）2+y2=64，圆心M的坐标为（2，0），半径R=8．
∵|AM|=4＜R，∴点A（-2，0）在圆M内，
设动圆C的半径为r，圆心为C，依题意得r=|CA|，且|CM|=R-r，
即
∴圆心C的轨迹是中心在原点，以A，M两点为焦点，长轴长为8的椭圆，
设其方程为（a＞b＞0），则a=4，c=2，
∴b2=a2-c2=12，∴所求动圆C的圆心的轨迹方程为．
（2）由消去y 化简整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2-48=0，
设B（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=．
△1=（8km）2-4（3+4k2） （4m2-48）＞0．①
由消去y 化简整理得：（3-k2）x2-2kmx-m2-12=0，
设E（x3，y3），F（x4，y4），则x3+x4=．
△2=（-2km）2+4（3-4k2） （m2+12）＞0．②
∵，∴（x4-x2 ）+（x3-x1）=0，即x1+x2=x3+x4，
∴，∴2km=0或，
解得k=0或m=0，
当k=0时，由①、②得，
∵m∈Z，∴m的值为-3，-2，-1，0，1，2，3；
当m=0时，由①、②得，
∵k∈Z，∴k=-1，0，1．
∴满足条件的直线共有9条．