Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，点M，N分别为A₁B和B₁C₁的中点．
（1）证明：A₁M⊥平面MAC；
（2）求三棱锥A-CMA₁的体积；
（3）证明：MN∥平面A₁ACC₁．

Answer

（1）证法一：由题设知，AC⊥AA1，由∠BAC=90°，知AC⊥ABAA1，由AB⊂平面AA1BB1，知AC⊥平面AA1BB1，由此能够证明A1M⊥平面MAC．
证法二：先证明△A1CB为等腰三角形，再由点M为A1B的中点，知A1M⊥MC，由此能够证明A1M⊥平面MAC．
（2）由三棱锥A-CMA1的体积，能够求出结果．
（3）证法一：连接AB1，AC1，得MN∥AC1，由此能够证明MN∥平面A1ACC1．
证法二：取A1B1中点P，连MP，NP，得MP∥AA1，由此能够证明MN∥平面A1ACC1．
【解析】
（1）证法一：由题设知，AC⊥AA1，
又∵∠BAC=90°∴AC⊥ABAA1，AB⊂平面AA1BB1，AA1∩AB=A，
∴AC⊥平面AA1BB1，…（1分）
A1M⊂平面AA1BB1∴A1M⊥AC．…（2分）
又∵四边形AA1BB1为正方形，M为A1B的中点，
∴A1M⊥MA…（3分）
AC∩MA=A，AC⊂平面MAC，MA⊂平面MAC…（4分）
∴A1M⊥平面MAC…（5分）
证法二：在Rt△BAC中，
在Rt△A1AC中，．
∴BC=A1C，
即△A1CB为等腰三角形．…（1分）
又点M为A1B的中点，∴A1M⊥MC．…（2分）
又∵四边形AA1BB1为正方形，M为A1B的中点，
∴A1M⊥MA…（3分）AC∩MA=A，AC⊂平面MAC，MA⊂平面MAC…（4分）
∴A1M⊥平面MAC…（5分）
（2）由（1）的证明可得：
三棱锥A-CMA1的体积…（7分）=…（8分）
=．…（9分）
（3）证法一：连接AB1，AC1，…（10分）
由题意知，点M，N分别为AB1和B1C1的中点，∴MN∥AC1．…（11分）
又MN⊄平面A1ACC1，AC1⊂平面A1ACC1，…（13分）
∴MN∥平面A1ACC1．…（14分）
证法二：取A1B1中点P，连MP，NP，…（10分）
而M，P分别为AB1与A1B1的中点，
∴MP∥AA1，MP⊄平面A1ACC1，AA1⊂平面A1ACC1，
∴MP∥平面A1ACC1，
同理可证NP∥平面A1ACC1…（11分）
又MP∩NP=P∴平面MNP∥平面A1ACC1．…（12分）
∵MN⊂平面MNP，…（13分）
∴MN∥平面A1ACC1．…（14分）