Question

已知等差数列{a_n}满足a₃=5，a₅-2a₂=3，又数列{b_n}中，b₁=3且
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）若数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别是S_n，T_n，且．求数列{c_n}的前n项和M_n；
（Ⅲ）若M_n对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（I）设等差数列{an}的公差为d，则由题设得：，由此能求出数列{an}的通项公式；由3bn-bn+1=0，知，由此能求出数列{bn}的通项公式．
（II）由（I）可得，．，由此利用错位相减法能求出Mn=，由此能求出若Mn对一切正整数n恒成立，实数m的取值范围．
【解析】
（I）设等差数列{an}的公差为d，
则由题设得：
即，
解得，
∴．
∵3bn-bn+1=0∴，
∴数列{bn}是以b1=3为首项，公比为3的等比数列．
∴．
（II）由（I）可得，
．
∴．
∴Mn=c1+c2+c3+…+cn-1+cn

（1）-（2）得：=，
∴Mn=．…（3）
Mn+1-Mn=
=9（n+1）×3n＞0，
∴当n=1时，∴Mn取最小值，M1=9，
∴9即
当m＞1时，恒成立；
当0＜m＜1时，由=logmm，得，
∴．
∴实数m的取值范围是．