Question

设抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，A（x，y）（x≠0）是抛物线C上的一定点．
（1）已知直线l过抛物线C的焦点F，且与C的对称轴垂直，l与C交于Q，R两点，S为C的准线上一点，若△QRS的面积为4，求p的值；
（2）过点A作倾斜角互补的两条直线AM，AN，与抛物线C的交点分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．若直线AM，AN的斜率都存在，证明：直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A₁处的切线的斜率．

Answer

（1）设出F，Q，R的坐标，求出|QR|，利用△QRS的面积为4，可求p的值；
（2）求抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率，一种方法是设直线方程与抛物线方程联立，利用判别式为0，另一种方法是导数法；求直线MN的斜率，一种方法是设直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及斜率公式，可求斜率，另一种方法是利用kAM=-kAN，确定斜率，从而可得结论．
（1）【解析】
由题设，设，则…（1分）
=．…（2分）
∴由△QRS的面积为4，得：，得：p=2．…（4分）
（2）证明：由题意A1（-x，y）…（5分）
首先求抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率．
解法一：设抛物线在A1处的切线的斜率为k，则其方程为y=k（x+x）+y…（6分）
联立，消去y得x2-2pkx-2pxk-2py=0
将代入上式得：…（7分）
…（8分）
即，即，得．
即抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率为．…（9分）
解法二：由x2=2py得，…（6分）
∴…（7分）
∴抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1（-x，y）处的切线的斜率为．…（9分）
再求直线MN的斜率．
解法一：设直线AM的斜率为k1，则由题意直线AN的斜率为-k1．…（10分）
直线AM的方程为y-y=k1（x-x），则直线AN的方程为y-y=-k1（x-x）．
联立，消去y得…（1）…（11分）
∵方程（1）有两个根x，x1，∴
∴，x+x1=2pk1，即x1=2pk1-x，同理可得x2=-2pk1-x…（12分）
直线MN的斜率=．…（13分）
∴直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率．…（14分）
解法二：∵kAM=-kAN…（10分）
∴…（11分）
将分别代入上式得：，
整理得2x=x1+x2．…（12分）
∴直线MN的
斜率=．…（13分）
∴直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率．…（14分）