Question

已知函数f（x）=x+alnx，其中a为常数，且a≤-1．
（Ⅰ）当a=-1时，求f（x）在[e，e²]（e=2.718 28…）上的值域；
（Ⅱ）若f（x）≤e-1对任意x∈[e，e²]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）求函数f（x）=x-lnx的导数，利用导数判断在[e，e2]上的单调性，便可求值域；
（Ⅱ）依题意就是求f（x）在[e，e2]上的最大值，用a表示出函数最大值，再将恒成立转化为函数最值问题，结合导数法解决即可．
【解析】
（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=x-lnx，
得，（2分）
令f'（x）＞0，即，解得x＞1，所以函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，
据此，函数f（x）在[e，e2]上为增函数，（4分）
而f（e）=e-1，f（e2）=e2-2，所以函数f（x）在[e，e2]上的值域为[e-1，e2-2]（6分）
（Ⅱ）由，令f'（x）=0，得，即x=-a，
当x∈（0，-a）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，-a）上单调递减；
当x∈（-a，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（-a，+∞）上单调递增；（7分）
若1≤-a≤e，即-e≤a≤-1，易得函数f（x）在[e，e2]上为增函数，
此时，f（x）max=f（e2），要使f（x）≤e-1对x∈[e，e2]恒成立，只需f（e2）≤e-1即可，
所以有e2+2a≤e-1，即
而，即，所以此时无解．（8分）
若e＜-a＜e2，即-e＞a＞-e2，易知函数f（x）在[e，-a]上为减函数，在[-a，e2]上为增函数，
要使f（x）≤e-1对x∈[e，e2]恒成立，只需，即，
由和
得．（10分）
若-a≥e2，即a≤-e2，易得函数f（x）在[e，e2]上为减函数，
此时，f（x）max=f（e），要使f（x）≤e-1对x∈[e，e2]恒成立，只需f（e）≤e-1即可，
所以有e+a≤e-1，即a≤-1，又因为a≤-e2，所以a≤-e2．（12分）
综合上述，实数a的取值范围是．（13分）