Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a_n+S_n=2n．
（Ⅰ）证明：数列{a_n-2}为等比数列，并求出a_n；
（Ⅱ）设b_n=（2-n）（a_n-2），求{b_n}的最大项．

Answer

（Ⅰ）由题设条件进行变形，整理成等比数列的形式，得证．
（Ⅱ）求出bn=（2-n）（an-2）的通项公式，再作差比较相邻项的大小，即可找出最大项．
【解析】
（Ⅰ）证明：由a1+s1=2a1=2得a1=1；
由an+Sn=2n得
an+1+Sn+1=2（n+1）
两式相减得2an+1-an=2，即2an+1-4=an-2，即an+1-2=（an-2）
是首项为a1-2=-1，公比为的等比数列．故an-2=-，故an=2-，．
（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）知
由
由bn+1-bn＜0得n＞3，所以b1＜b2＜b3=b4＞b5＞…＞bn
故bn的最大项为．