Question

如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．

（Ⅰ）求证AD⊥BM；
（Ⅱ）点E是线段DB上的一动点，当二面角E-AM-D大小为时，试确定点E的位置．

Answer

（Ⅰ）先证明BM⊥AM，再利用平面ADM⊥平面ABCM，证明BM⊥平面ADM，从而可得AD⊥BM；
（Ⅱ）作出二面角E-AM-D的平面角，利用二面角E-AM-D大小为时，即可确定点E的位置．
（Ⅰ）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点
∴AM=BM=
∴BM⊥AM
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM
∴BM⊥平面ADM
∵AD⊂平面ADM
∴AD⊥BM；
（Ⅱ）过点E作MB的平行线交DM于F，

∵BM⊥平面ADM，∴EF⊥平面ADM
在平面ADM中，过点F作AM的垂线，垂足为H，则∠EHF为二面角E-AM-D平面角，即∠EHF=
设FM=x，则DF=1-x，FH=
在直角△FHM中，由∠EFH=，∠EHF=，可得EF=FH=
∵EF∥MB，MB=，∴，∴
∴
∴当E位于线段DB间，且时，二面角E-AM-D大小为．