Question

设二次函数f（x）=mx²+nx+t的图象过原点，g（x）=ax³+bx-3（x＞0），f（x），g（x）的导函数为f′（x），g′（x），且f′（0）=0，f′（-1）=-2，f（1）=g（1），f′（1）=g′（1）．
（1）求函数f（x），g（x）的解析式；
（2）求F（x）=f（x）-g（x）的极小值；
（3）是否存在实常数k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m？若存在，求出k和m的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由已知得t=0，求出导数f′（x）=2mx+n，由f′（0）=n=0，f′（-1）=-2m+n=-2，解得n=0，m=1，得出f（x）=x2f′（x）=2x，g′（x）=3ax2+b．再由条件列出关于a，b的方程，求得a，b即可写出函数f（x），g（x）的解析式；
（2）F（x）=f（x）-g（x）=x3+x2-5x+3（x＞0），先确定函数的定义域然后求出函数的导涵数Fˊ（x），在函数的定义域内解不等式Fˊ（x）＞0和Fˊ（x）＜0，即可求出函数的单调区间，然后根据极值的定义进行判定极值即可．（3）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在函数f（x）在点（1，1）的切线方程为y=2x-1满足条件，再利用导数，求出h（x）=-x3+5x-3-（2x-1）的最大值进行验证，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
【解析】
（1）由已知得t=0，f′（x）=2mx+n，
则f′（0）=n=0，f′（-1）=-2m+n=-2，从而n=0，m=1，
∴f（x）=x2f′（x）=2x，g′（x）=3ax2+b．
由f（1）=g（1），f′（1）=g′（1），得a+b-3=1，3a+b=2，解得a=-1，b=5．∴g（x）=-x3+5x-3（x＞0）．
（2）F（x）=f（x）-g（x）=x3+x2-5x+3（x＞0），
求导数得F′（x）=3x2+2x-5=（x-1）（3x+5）．∴F（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，从而F（x）的极小值为F（1）=0．
（3）因f（x）与g（x）有一个公共点（1，1），而函数f（x）在点（1，1）的切线方程为y=2x-1．
下面验证都成立即可．
由x2-2x+1≥0，得x2≥2x-1，知f（x）≥2x-1恒成立．
设h（x）=-x3+5x-3-（2x-1），即h（x）=-x3+3x-2（x＞0），
求导数得h′（x）=-3x2+3=-3（x-1）（x+1）（x＞0），∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以h（x）=-x3+5x-3-（2x-1）的最大值为h（1）=0，
所以-x3+5x-3≤2x-1恒成立．
故存在这样的实常数k和m，且k=2，m=-1．