Question

给出下列四个命题：
①命题p：∀x∈R，sinx≤1，则￢p：∃x∈R，sinx＜1；
②当x＞1时，有；
③函数的零点个数有3个；
④设有五个函数，其中既是偶函数又在（0，+∞）上是增函数的有2个．
其中真命题的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

①原命题是特称命题，其否定为全称命题，将“存在”改为“任意的”，“＞“改为“≤”即可得答案；
②利用均值不等式进行判断，注意取等号时的情况，从而进行判断；
③求分段函数的零点，x≤0时的情况比较好判断，只有一个，x＞0的情况，可以利用导数和零点定理进行判断；
④根据偶函数的性质f（-x）=f（x），和导数进行判断增减性；
【解析】
①命题p：∀x∈R，sinx≤1，则￢p：∃x∈R，sinx＞1，故①错误；
②∵当x＞1时，有=2，当lnx=即x=e时等号成立，故②正确；
③当x≤0时，f（x）=2x+1=0，得x=，有一个交点；
当x＞0时，f（x）=lnx-x2+2x，求导f′（x）=-2x+2=，因为y=-2x2+2x+1开口向下，△=4-4（-2）1=12，令f′（x）=0，解得x=或x=，
若f′（x）＞0，可得0＜x＜，f（x）为增函数，
若f′（x）＜0，可得x＞，f（x）为减函数；
当x→0时，f（x）＜0，f（）＞0，f（x）与x轴有两个交点；故③正确；
④有五个函数，
根据f（-x）=f（x），
可知y=x2，y=2|x|为偶函数，
且y=x2，y=2|x|在（0，+∞）上为增函数，
故④正确；
故选C；