Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°．
（1）求证：OM∥平面PAB；
（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（3）当四棱锥P-ABCD的体积等于时，求PB的长．

Answer

（1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行；
（2）先证明BD⊥平面PAC，即可证明平面PBD⊥平面PAC；
（3）利用四棱锥P-ABCD的体积等于时，求出四棱锥P-ABCD的高为PA，利用PA⊥AB，即可求PB的长．
（1）证明：∵在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB，…（1分）
∵OM⊄平面PBD，PB⊂平面PBD，…（3分）
∴OM∥平面PAB．…（4分）
（2）证明：∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，…（5分）
∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA．…（6分）
∵AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，…（8分）
∵BD⊂平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC．…（10分）
（3）【解析】
∵底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，
∴菱形ABCD的面积为，…（11分）
∵四棱锥P-ABCD的高为PA，∴，得…（12分）
∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB．…（13分）
在Rt△PAB中，．…（14分）