Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且，若E、F分别为PC、BD的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：平面PDC⊥平面PAD．

Answer

（1）利用三角形中位线的性质，可得线线平行，进而可得线面平行；
（2）先证明线面垂直，再证明面面垂直即可．
证明：（1）连接AC，则F是AC的中点，在△CPA中，EF∥PA，…（2分）
∵PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
∴EF∥平面PAD                              …（5分）
（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，
∵PA⊂平面PAD，
∴CD⊥PA        …（8分）
又PA=PD=AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且，即PA⊥PD        …（10分）
∵CD∩PD=D，∴PA⊥平面PDC，
∵PA⊂平面PAD，
∴平面PAD⊥平面PDC       …（12分）