Question

如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0，1）且被x轴分成的两段圆弧长之比为1：2，过点H（0，t）的直线l于圆C相交于M、N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O．
（1）求圆C的方程；
（2）当t=1时，求出直线l的方程；
（3）求直线OM的斜率k的取值范围．

Answer

（1）由题意可知圆心在直线y=1上，设出圆与x轴的交点分别为A和B，由被x轴分成的两段圆弧长之比为1：2得到∠ACB的度数，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得到半径AC和CB的长，进而得到圆心C的坐标，根据圆心坐标和圆的半径写出圆C的方程即可；
（2）由t的值得到H的坐标，又直线l的斜率存在，设出直线l的方程，与圆的方程联立即可求出两交点坐标分别设为M和N，由以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O，根据直径所对的圆周角为直角，得到与垂直，利用两向量垂直时数量积为0，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，写出直线l的方程即可；
（3）设出直线OM的方程，根据直线OM与圆的位置关系是相交，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线OM的距离d，让d小于圆C的半径列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范围．
【解析】
（1）因为位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0，1），所以圆心C在直线y=1上，
设圆C与x轴的交点分别为A、B，
由圆C被x轴分成的两段弧长之比为2：1，得，
所以CA=CB=2，圆心C的坐标为（-2，1），
所以圆C的方程为：（x+2）2+（y-1）2=4．
（2）当t=1时，由题意知直线l的斜率存在，设直线l方程为y=mx+1，
由得或，
不妨令，
因为以MN为直径的圆恰好经过O（0，0），
所以，
解得，所以所求直线l方程为或．
（3）设直线MO的方程为y=kx，
由题意知，，解之得，
同理得，，解之得或k＞0．由（2）知，k=0也满足题意．
所以k的取值范围是．