Question

已知定义在R上的连续奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且在区间[0，2]上是增函数，有下列命题：
①函数f（x）的图象关于直线x=4k+2（k∈Z）对称；
②函数f（x）的单调递增区间为[8k-6，8k-2]（k∈Z）；
③函数f（x）在区间（-2012，2012）上恰有1006个极值点；
④若关于x的方程f（x）-m=0在区间[-8，8]上有根，则所有根的和可能为0或±4或±8．
其中真命题的个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个

Answer

依题意，可得f（x-8）=f（x），从而可求得f（x）的周期，再由f（x）在区间[0，2]上是增函数，可对①②③④逐个判断，得到答案．
【解析】
对于①，∵定义在R上的连续奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），
∴f[（x-4）-4]=-f（x-4）=f（x），即f（x-8）=f（x），
∴f（x）是以8为周期的函数，8k（k∈Z且k≠0）也是其周期，又f（x）为R上的连续奇函数，
由f（x-4）=-f（x）得，f（-x-4）=-f（-x）=f（x），
∴f（-x-4+8）=f（x），即f（4-x）=f（x），又8k（k∈Z且k≠0）是其周期，
∴f（8k+4-x）=f（x），
∴函数f（x）的图象关于直线x=4k+2（k∈Z）对称，故①正确；
作图如下：

由图可知，函数f（x）的单调递减区间为[8k-6，8k-2]（k∈Z），故②错误；
由图可知，f（x）在一个周期内有两个极值点，在区间（-2012，2012）上有503个周期，故恰有1006个极值点，③正确；
由图中a，b，c，d及x轴五条直线可知，关于x的方程f（x）-m=0在区间[-8，8]上有根，则所有根的和可能为0或±4或±8，故④正确．
综上所述，①③④正确．
故选C．