Question

巳知各项均为正数的等差数列{a_n}三项的和为27，且满足a₁a₃=65数列{b_n}的前n项和为S_n，且对一切正整数n，点（n，S_n）都在函数图象上．
（I） 求数列{a_n}、{b_n}通项公式；
（II）设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}前n项和T_n；
（III）设，若d_n+1＞d_n，n∈N^*成立，试证明：．

Answer

（I）利用等差数列{an}三项的和为27，可得a2，根据a1a3=65，等差数列{an}的各项均为正数，可得d，从而可求数列{an}的通项公式；利用点（n，Sn）都在函数图象上，可求数列{bn}的通项公式；
（II）利用错位相减法可求数列的和；
（III）利用若dn+1＞dn，n∈N*成立，可得（-1）n（3×2n+1+4）λ＞-2×3n，再分n为正偶数、正奇数，利用分类参数法，求出相应的最值，即可求得结论．
（I）【解析】
∵等差数列{an}三项的和为27，∴a2=9
∵a1a3=65，∴（9-d）（9+d）=65，∴d=±4
∵等差数列{an}的各项均为正数，∴d=4，∴a2=，5
∴an=4n+1；
∵点（n，Sn）都在函数图象上．
∴当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=3n，
∵n=1时，b1=3
∴bn=3n；
（II）【解析】
cn=anbn=（4n+1）•3n，
∴数列{cn}前n项和Tn=5×3+9×32+…+（4n+1）•3n，①
∴3Tn=5×32+9×33+…+（4n+1）•3n+1，②
①-②整理可得：-2Tn=5×3+4×32+…+4•3n-（4n+1）•3n+1，
∴Tn=+；
（III）证明：∵，dn+1＞dn，n∈N*成立，
∴3n+1+（-1）n（2n+2+2）λ＞3n+（-1）n-1（2n+1+2）λ
∴（-1）n（3×2n+1+4）λ＞-2×3n
（1）当n为正偶数时，有（3×2n+1+4）λ＞-2×3n恒成立
∴=
∵n=2时，=-
∴；
（2）当n为正奇数时，有-（3×2n+1+4）λ＞-2×3n恒成立
∴=
∵n=1时，=
∴
综上可知dn+1＞dn，n∈N*成立时，．