Question

某学校的场室统一使用“佛山照明”的一种灯管，已知这种灯管使用寿命ξ（单位：月）服从正态分布N（μ，σ²），且使用寿命不少于12个月的概率为0.8，使用寿命不少于24个月的概率为0.2．
（1）求这种灯管的平均使用寿命；
（2）假设一间功能室一次性换上4支这种新灯管，使用12个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下（中途不更换），求至少两支灯管需要更换的概率．

Answer

（1）根据题意ξ～N（μ，σ2），显然P（ξ＜12）=P（ξ≥24），结合正态分布密度函数的对称性可知，μ=，从而得出每支这种灯管的平均使用寿命；
（2）先算出每支灯管使用12个月时已经损坏的概率，假设使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为η支，则η～B（4，0.2），利用贝努利概率即可得出至少两支灯管需要更换的概率P=1-P（η=0）-P（η=1）．
【解析】
（1）∵ξ～N（μ，σ2），P（ξ≥12）=0.8，P（ξ≥24）=0.2，
∴P（ξ＜12）=0.2，
显然P（ξ＜12）=P（ξ≥24）…（3分）
由正态分布密度函数的对称性可知，μ==18，
即每支这种灯管的平均使用寿命是18个月；…（5分）
（2）每支灯管使用12个月时已经损坏的概率为1-0.8=0.2…（6分）
假设使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为η支，则η～B（4，0.2），…（8分）
故至少两支灯管需要更换的概率P=1-P（η=0）-P（η=1）=1--=…（12分）