Question

设a∈R，函数f（x）=lnx-ax．
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在P（1，-2）处的切线方程；
（2）若f（x）无零点，求实数a的取值范围；
（3）若f（x）有两个相异零点x₁，x₂，求证：x₁•x₂＞e²．

Answer

（1）先确定函数f（x）的定义域，然后对函数f（x）求导，根据导函数求出f′（1）=-1，得到切线方程．
（2）当a≤0时，函数有零点；当a＞0时，极大值小于0，函数没有零点，由此可求实数a的取值范围．
（3）由于f（x）有两个相异零点x1，x2，可知f（x1）=0，f（x2）=0，再原不等式x1•x2＞e2进一步整理得到，只要能证出上述不等式恒成立即可．
【解析】
在区间（0，+∞）上，．…（1分）
（1）当a=2时，f′（1）=1-2=-1，则切线方程为y-（-2）=-（x-1），即x+y+1=0 …（3分）
（2）①若a＜0，则f′（x）＞0，f（x）是区间（0，+∞）上的增函数，
∵f（1）=-a＞0，f（ea）=a-aea=a（1-ea）＜0，
∴f（1）•f（ea）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）有唯一零点．…（6分）
②若a=0，f（x）=lnx有唯一零点x=1．…（7分）
③若a＞0，令f′（x）=0得：．
在区间（0，）上，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数；
在区间（，+∞）上，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数；
故在区间（0，+∞）上，f（x）的极大值为f（）=．
由于f（x）无零点，须使，解得：．
故所求实数a的取值范围是（，+∞）．…（9分）
（3）设x1＞x2＞0，∵f（x1）=0，f（x2）=0，∴lnx1-ax1=0，lnx2-ax2=0，
∴lnx1-lnx2=a（x1-x2），lnx1+lnx2=a（x1+x2）
原不等式x1•x2＞e2等价于lnx1+lnx2＞2⇔a（x1+x2）＞2⇔⇔

令，则t＞1，于是⇔．…（12分）
设函数，
求导得：，
故函数g（t）是（1，+∞）上的增函数，∴g（t）＞g（1）=0
即不等式成立，故所证不等式x1•x2＞e2成立．…（14分）