Question

已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，a₂=9，且a₁a₃=65．数列前n项和S_n满足2S_n=3ⁿ⁺¹-3（n∈Nⁿ）
（I）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（II）设c_n=a_nb_n，求数列{c_n）的前n项和T_n
（III）设，若d_2k+1＞d_2k对k∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

Answer

（I）利用a2=9，a1a3=65可求数列{an}的通项公式；利用2Sn=3n+1-3，再写一式，两式相减，可求数列{bn}的通项公式；
（II）利用错位相减法，可求数列{cn）的前n项和Tn；
（III），d2k+1＞d2k对k∈N*恒成立，等价于对k∈N*恒成立，求出右边的最大值，即可求λ的取值范围．
【解析】
（I）∵a2=9，a1a3=65，∴（9-d）（9+d）=65，∴d=±4
∵d＞0，∴d=4，∴a1=5，∴an=4n+1；
∵2Sn=3n+1-3，∴n≥2时，bn=Sn+1-Sn=3n
又n=1时，b1=3，∴bn=3n；
（II）cn=anbn=（4n+1）•3n
∴Tn=5×3+9×32+…+（4n+1）•3n①
∴3Tn=5×32+9×33+…+（4n-3）•3n+（4n+1）•3n+1②
②-①整理可得2Tn=-15-4×32-4×33-…-4•3n+（4n+1）•3n+1=4+（4n-1）•3n+1
∴Tn=
（III）∵，d2k+1＞d2k对k∈N*恒成立，
∴32k+1+（-1）2k（22k+2+2）λ＞32k+（-1）2k-1（22k+1+2）λ
∴对k∈N*恒成立，
令f（k）=，则f（k+1）-f（k）==＜0
∴函数是减函数，∴k=1时，f（k）max=-
∴λ＞．