Question

设函数f（x）=ax³+bx²+cx，记f（x）的导函数是f^′（x）．
（I）当a=-1，b=c=-1时，求函数f（x）的单调区间；
（II）当c=-a²（a＞0）时，若函数f（x）的两个极值点x₁、x₂满足|x₁-x₂|=2，求b的取值范围；
（III）若a=-令h（x）=|f^′（x）|，记h（x）在[-1，1]上的最大值为H，当b≥0，c∈R时，证明：H．

Answer

（I）把a=-1，b=c=-1代入函数f（x）=ax3+bx2+cx，对其进行求导，利用导数求函数f（x）的单调区间；
（II）把c=-a2（a＞0）时，代入函数f（x）=ax3+bx2+cx，可知x1，x2，是方程3ax2+2bx-a2=0，的两个不等实数，根据根与系数的关系进行求解；
（III）把a=-代入f（x），令h（x）=|f′（x）|，对b进行分类讨论：b＞1或0≤b≤1，利用绝对值的性质，求出H的范围；
【解析】
（I）当a=1，b=c=-1时，f（x）=x3-x2-x，
∴f′（x）=3x2-2x-1=（3x+1）（x-1），
∴函数f（x）的单调区间为（-∞，-）和（1，+∞）
单调减区间为（-，1）；
（II）当c=-a2时，函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）
异知x1，x2，是方程3ax2+2bx-a2=0，的两个不等实数，
∴x1+x2=-，x1x2=-=-，
∴|x1-x2|==2，
∴即b2=-3a3+9a2，
∵b2=-3a3+9a2=-3a2（a-3）≥0，易知0＜a≤3；
设g（a）=-3a2（a-3），∴g′（a）=-9a2+18a=-9a（a-2），
∵g（a）在（2，3）上单调递减，在（0，2）上单调递减，
∴当0＜a≤3时，g（a）max=g（2）=12；g（a）min=g（3）=0，
∴b2≤12⇒b∈[-2，2]；
（III）∵a=-，易知f′（x）=-x2+2bx+c，
∴h（x）=|f′（x）|=|-（x-b）2+b2+c|
①若b＞1，则f′（-1）≤f′（x）≤f′（1），
即f′（x）的最值在区间[-1，1]两个端点处取得，
∴H≥h（1）且H≥h（-1），
∴2H≥h（1）+h（-1）=|-1+2b+c|+|-1-2b+c|≥4b＞4，
∴当b＞1时，H＞2，
②若0≤b≤1，则f′（x）max=f′（b），f′（x）max=f′（-1），
∴H为h（-1）、h（b）中的最大值，
∴2H≥h（-1）+h（b）=|-1-2b+c|+|b2+c|≥（b+1）2，
又∵0≤b≤1，∴（b+1）2≥1，
∴H≥，
综上：对于任意的b≥0，c∈R，都有H≥；