Question

设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是函数图象上任意两点，且x₁+x₂=1．
（Ⅰ）求y₁+y₂的值；
（Ⅱ）若（其中n∈N^*），求T_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设（n∈N^*），若不等式a_n+a_n+1+a_n+2+…+a_2n-1＞log_a（1-2a）对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）根据已知条件A，B在函数f（x）上，代入求出y1和y2，再利用x1+x2=1进行化简求值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当x1+x2=1时，y1+y2=2，利用倒叙相加法进行求和；
（Ⅲ）根据已知条件利用（n∈N）将要证明的命题进行转化，只要求出的最小值即可；
【解析】
（Ⅰ）∵A（x1，y1）、B（x2，y2）是函数图象上任意两点，且x1+x2=1．
y1+y2=
====2．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当x1+x2=1时，y1+y2=2，
由得，，
∴，
∴Tn=n+1．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，，不等式an+an+1+an+2+…+a2n-1＞loga（1-2a）即为，
设Hn=，
则 Hn+1=，
∴，
∴数列{Hn}是单调递增数列，
∴（Hn）min=T1=1，（10分）
要使不等式恒成立，只需loga（1-2a）＜1，
即loga（1-2a）＜logaa，
∴或
解得．
故使不等式对于任意正整数n恒成立的a的取值范围是．（12分）