Question

已知函数f（x）=a（x-1）²+lnx+1．
（Ⅰ）当时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[2，4]上是减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当x∈[1，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）把代入可得函数解析式，求导后由极值的定义可得；
（Ⅱ）函数f（x）在区间[2，4]上单调递减等价于其导数在区间[2，4]上恒成立，只需求在[2，4]上的最小值即可，下面可由基本不等式求解；
（Ⅲ）题意可化为当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即a（x-1）2+lnx-x+1≤0恒成立，设g（x）=a（x-1）2+lnx-x+1（x≥1），只需g（x）max≤0即可，下面用导数求解g（x）的最大值．
【解析】
（Ⅰ）当时，（x＞0），
所以（x＞0），
由f'（x）＞0解得0＜x＜2；由f'（x）＜0解得x＞2，
故当0＜x＜2时，f（x）的单调递增；当x＞2时，f（x）单调递减，
∴当x=2时，函数f（x）取得极大值．（4分）
（Ⅱ），∵函数f（x）在区间[2，4]上单调递减，
∴导数在区间[2，4]上恒成立，
即在[2，4]上恒成立，只需2a不大于在[2，4]上的最小值即可．（6分）
而（2≤x≤4），则当2≤x≤4时，，
∴，即，故实数a的取值范围是．（8分）
（Ⅲ）因f（x）图象上的点在所表示的平面区域内，
即当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即a（x-1）2+lnx-x+1≤0恒成立，
设g（x）=a（x-1）2+lnx-x+1（x≥1），只需g（x）max≤0即可．（9分）
由=，
（ⅰ）当a=0时，，当x＞1时，g'（x）＜0，函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（1）=0成立．（10分）
（ⅱ）当a＞0时，由，令g'（x）=0，得x1=1或，
①若，即时，在区间（1，+∞）上，g'（x）＞0，函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，函数g（x）在[1，+∞）上无最大值，不满足条件；
②若，即时，函数g（x）在上单调递减，在区间上单调递增，同样g（x）在[1，+∞）上无最大值，不满足条件．（12分）
（ⅲ）当a＜0时，由，因x∈（1，+∞），故g'（x）＜0，则函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（1）=0成立．
综上所述，实数a的取值范围是（-∞，0]．（14分）