Question

如图所示，ABCD是边长为a的正方形，△ABP是以角B为直角的等腰三角形．
（1）H为BD上一点，且AH⊥平面PDB，求证：平面ABCD⊥平面APB；
（2）若，求二面角A-PD-B的余弦值．

Answer

（1）由AH⊥平面PDB，知AH⊥PB，由△ABP是以角B为直角的等腰三角形，知AB⊥PB，由此能够证明平面ABCD⊥平面APB．
（2）由，ABCD是边长为a的正方形，△ABP是以角B为直角的等腰三角形，平面ABCD⊥平面APB，知BC⊥平面APB，以BA为x轴，以BP为y轴，以BC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PD-B的余弦值．
【解析】
（1）∵AH⊥平面PDB，PB⊂平面PDB，
∴AH⊥PB，
∵△ABP是以角B为直角的等腰三角形，
∴AB⊥PB，
∵AH∩AB=A，
∴AB⊥平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面APB．
（2）∵，ABCD是边长为a的正方形，
△ABP是以角B为直角的等腰三角形，
平面ABCD⊥平面APB，
∴BC⊥平面APB，
以BA为x轴，以BP为y轴，以BC为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（a，0，0），P（0，a，0），D（a，0，a），B（0，0，0），
∴，，，，
设平面BPD的法向量，则，，
∴，∴，
设平面APD的法向量=（x2，y2，z2），则，=0，
∴，∴=（1，1，0），
设二面角A-PD-B的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜＞|=||=．
∴二面角A-PD-B的余弦值为．