Question

已知数列{a_n}满足a₁=3，a_na_n-1=2a_n-1-1．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求证：数列是等差数列，并求出{a_n}的通项公式．
（3）若，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）由a1=3，anan-1=2an-1-1．分别令n值为2，3，4，可逐项求出a2，a3，a4；
（2）由a1=3，anan-1=2an-1-1．可得-=1，即数列是以为首项，以1为公式差的等差数列，先求出数列的通项，进而可得{an}的通项公式
（3）{bn}的通项是一个等差数列和等比数列积的形式，故应使用错位相减法，求{bn}的前n项和Tn．
【解析】
（1）∵a1=3，anan-1=2an-1-1．
当n=2时，a2a1=2a1-1，即a2=2-=，
当n=3时，a3a2=2a2-1，即a3=2-=，
当n=4时，a4a3=2a3-1，即a4=2-=，
证明：（2）由题意得an≠0且an≠1
∵anan-1=2an-1-1．
∴（an-1-1）-（an-1）=（an-1-1）（an-1）
∴-=1
∴数列是以为首项，以1为公式差的等差数列
故
∴
【解析】
（3）由（2）得：
∴Tn=3•2+5•22+7•23+…+（2n+1）2n…①
∴2Tn=3•22+7•23+…+（2n-1）2n+（2n+1）2n+1…②
②-①得：