Question

如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，PB=BC=CA=4，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF=2FP．
（1）求证：BE⊥平面PAC；
（2）求证：CM∥平面BEF；
（3）求三棱锥F-ABE的体积．

Answer

（1）利用线面垂直可得线线垂直，进而可得AC⊥平面PBC，即可得线线垂直，再利用线面垂直的判定，即可证得BE⊥平面PAC；
（2）取AF的中点G，AB的中点M，连接CG，CM，GM，利用线线平行证明线面平行，从而可得平面CMG∥平面BEF，利用面面平行的性质，可得线面平行；
（3）证明BE⊥平面PAC，利用等体积转化可求三棱锥F-ABE的体积．
（1）证明：∵PB⊥底面ABC，且AC⊂底面ABC，∴AC⊥PB            …（1分）
由∠BCA=90°，可得AC⊥CB                                      …（2分）
又∵PB∩CB=B，∴AC⊥平面PBC                               …（3分）
∵BE⊂平面PBC，∴AC⊥BE                                …（4分）
∵PB=BC，E为PC中点，∴BE⊥PC                               …（5分）
∵PC∩AC=C，∴BE⊥平面PAC                               …（6分）
（2）证明：取AF的中点G，AB的中点M，连接CG，CM，GM，
∵E为PC中点，FA=2FP，∴EF∥CG．…（7分）
∵CG⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，∴CG∥平面BEF．…（8分）
同理可证：GM∥平面BEF．
又CG∩GM=G，∴平面CMG∥平面BEF．…（9分）
∵CM⊂平面CDG，∴CM∥平面BEF．…（10分）
（3）【解析】
由（1）可知BE⊥平面PAC
又PB=BC=4，E为PC的中点，∴BE=2．
∵=                            …（12分）
∴VF-ABE=VB-AEF==
∴三棱锥F-ABE的体积为．…（14分）