Question

已知圆C₁：（x-4）²+y²=1，圆C₂：x²+（y-2）²=1，动点P到圆C₁，C₂上点的距离的最小值相等．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）点P的轨迹上是否存在点Q，使得点Q到点A（，0）的距离减去点Q到点B（）的距离的差为4，如果存在求出Q点坐标，如果不存在说明理由．

Answer

（1）利用动点P到圆C1，C2上点的距离的最小值相等，建立方程，化简可得点P的轨迹方程；       
（2）根据点Q到点A（，0）的距离减去点Q到点B（）的距离的差为4，可得Q的方程，与直线l：y=2x-3联立，利用判别式可得结论．
【解析】
（1）设动点P的坐标为（x，y），圆C1：（x-4）2+y2=1的圆心坐标为（4，0），圆C2：x2+（y-2）2=1的圆心坐标为（0，2）
∵动点P到圆C1，C2上点的距离的最小值相等
∴|PC1|=|PC2|
∴
化简得：y=2x-3
因此点P的轨迹方程是y=2x-3；       
（2）假设这样的Q点存在，因为点Q到点A（，0）的距离减去点Q到点B（）的距离的差为4，
所以Q点在以A（，0）和B（）为焦点，实轴长为4的双曲线的右支上，
即Q点在曲线上，
∵Q点在直线l：y=2x-3上
∴代入曲线方程可得3x2-12x+13=0
∴△=122-4×3×13＜0，方程组无解，
所以点P的轨迹上不存在满足条件的点Q．