Question

设n∈N⁺，圆C_n：x²+y²=R（R_n＞0）与y轴正半轴的交点为M，与曲线y=的交点为N（x_n，y_n），直线MN与x轴的交点为A（a_n，0）．
（1）用x_n表示R_n和a_n；
（2）若数列{x_n}满足：x_n+1=4x_n+3，x₁=3．
①求常数P的值使数列{a_n+1-p•a_n}成等比数列；
②比较a_n与2•3ⁿ的大小．

Answer

（1）根据y=与圆Cn交于点N，可得，确定直线MN的方程，利用点N（xn，yn）在直线MN上，即可用xn表示Rn和an；
（2）由xn+1=4xn+3得{xn+1}是以4为首项，4为公比的等比数列，由此可求，①利用数列{an+1-p•an}成等比数列，构建等式，即可求得结论；
②由①知：，构建函数f（x）=（x+1）n-xn（x＞0），证明函数是增函数，即可得到结论．
【解析】
（1）∵y=与圆Cn交于点N，∴=
∴，…（2分）
由题可知，点M的坐标为（0，Rn），从而直线MN的方程为，…（3分）
由点N（xn，yn）在直线MN上得：，…（4分）
将，代入化简得：．…（6分）
（2）由xn+1=4xn+3得：1+xn+1=4（xn+1），…（7分）
又x1=3，∴1+x1=4，故{xn+1}是以4为首项，4为公比的等比数列
∴xn+1=4•4n-1=4n，∴       …（8分）
①an+1-p•an=4n+1+2n+1-p（4n+2n）=（4-p）•4n+（2-p）•2n，an+2-p•an+1=（16-4p）•4n+（4-2p）•2n
令an+2-p•an+1=q（an+1-p•an）得：（16-4p）•4n+（4-2p）•2n=q[（4-p）•4n+（2-p）•2n]…（9分）
∴，∴，解得：或
故当p=2时，数列{an+1-p•an}成公比为4的等比数列；当p=4时，数列{an+1-p•an}成公比为2的等比数列． …（11分）
②由①知：，当n=1时，=3•21；
当n≥2时，．…（12分）
事实上，令f（x）=（x+1）n-xn（x＞0），则f′（x）=n[（x+1）n-1-xn-1]＞0，
故f（x）=（x+1）n-xn（x＞0）是增函数，
∴f（3）＞f（2），即：4n-3n＞3n-2n，即．…（14分）