Question

已知{a_n}是公比大于1的等比数列，a₁，a₃是函数f（x）=x+-10的两个零点．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=log₃a_n+n+2，且b₁+b₂+b₃+…+b_n≥80，求n的最小值．

Answer

（Ⅰ）由f（x）=x+-10=0，得x2-10x+9=0，解得x1=1，x2=9，由{an}是公比q大于1的等比数列，a1，a3是函数f（x）=x+-10的两个零点，知a1=1，a3=9，由此能求出数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）由，知bn=log3an+n+2=+n+2=2n+1，由此得到b1+b2+b3+…+bn=n2+2n，由b1+b2+b3+…+bn≥80，得n2+2n≥80，由此能求出n的最小值．
【解析】
（Ⅰ）由f（x）=x+-10=0，得x2-10x+9=0，
解得x1=1，x2=9，
∵{an}是公比q大于1的等比数列，a1，a3是函数f（x）=x+-10的两个零点，
∴a1=1，a3=9，
∴1×q2=9，∴q=3，
∴．
（Ⅱ）∵，
∴bn=log3an+n+2=+n+2=2n+1，
∴b1+b2+b3+…+bn=（2×1+1）+（2×2+1）+（2×3+1）+…+（2n+1）
=2（1+2+3+…+n）+n
=n（n+1）+n
=n2+2n，
∵b1+b2+b3+…+bn≥80，
∴n2+2n≥80，
解得n≥8，或n≤-10（舍），
故n的最小值为8．