Question

已知点P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n）（n为正整数）都在函数的图象上，且数列{a_n} 是a₁=1，公差为d的等差数列．
（1）证明：数列{b_n} 是等比数列；
（2）若公差d=1，以点P_n的横、纵坐标为边长的矩形面积为c_n，求最大的实数t，使（t∈R，t≠0）对一切正整数n恒成立；
（3）对（2）中的数列{a_n}，对每个正整数k，在a_k与a_k+1之间插入3^k-1个3（如在a₁与a₂之间插入3个3，a₂与a₃之间插入3¹个3，a₃与a₄之间插入3²个3，…，依此类推），得到一个新的数列{d_n}，设S_n是数列{d_n}的前n项和，试探究2008是否为数列{S_n}中的某一项，写出你探究得到的结论并给出证明．

Answer

（1）根据题中已知条件以及等差数列的基本性质，先求出bn的通项公式，然后证明为常数即可证明；
（2）先求出bn的通项公式，然后求出cn的表达式，可知数列cn从第二项起随n增大而减小，故cn≤c2，即t=c2，便可求出t的最小值；
（3）根据题意先求出dn的表达式，然后求出Sn的表达式，因为2008-1120=888=296×3，是3的倍数，所以存在自然数m，使Sm=2008．
【解析】
（1）由已知，（1分）
所以，（常数），（3分）
所以，数列{bn}是等比数列．（4分）
（2）公差d=1，则an=n，得，
∴，（8分）
，
∴c1=c2＞c3＞c4＞cn＞数列{cn}从第二项起随n增大而减小（9分）
∴又，则．得0＜t≤2最大的实数t的值等于2（11分）
（3）∵an=n，∴数列{dn}中，从第一项a1开始到ak为止（含ak项）的所有项的和是，（13分）
当k=7时，其和是，（14分）
而当k=8时，其和是．（15分）
又因为2008-1120=888=296×3，是3的倍数，
所以存在自然数m，使Sm=2008．
此时m=7+（1+3+32+…+35）+296=667．（18分）