Question

已知数列{a_n}满足递推式a_n=2a_n-1+1（n≥2），其中a₄=15．
（Ⅰ）求证：数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）已知数列{b_n}有，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（I）由已知中an=2an-1+1（n≥2），两边同加一，易得数列{an+1}是等比数列，结合a4=15，求出数列{an+1}的首项，进而可求数列{an+1}的通项公式，进而可得数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）根据数列{bn}中是等差数列的等比数列相乘的形式，故采用错位相减法可求数列{bn}的前n项和Sn．
【解析】
（1）∵当n≥2时，an=2an-1+1，
∴an+1=2（an-1+1），
即数列{an+1}是一个公比为2的等比数列
又∵a4+1=16，故a1+1=2
故an+1=2n，故an=2n-1
（2）∵=
∴Sn=+++…+…①
∴Sn=++…++…②
①-②得
Sn=+++…+-=1--=1-
∴Sn=2-